Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 2 

Илья Владимирович Бойков, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Анастасия Александровна Пивкина, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: nastyashaldaeva@mail.ru 

517.95; 519.6 

DOI

10.21685/2072-3040-2021-4-6 

Актуальность и цели. Уравнение Амбарцумяна и его обобщения являются одними из основных интегральных уравнений астрофизики, нашедшими широкое применение во многих областях физики и техники. Уравнение Амбарцумяна играет важную роль при исследовании рассеивания света в средах бесконечной оптической толщины. В настоящее время не известно аналитическое решение этого уравнения, поэтому актуальной является разработка приближенных методов его решения. Для решения уравнения Амбарцумяна предложено несколько итерационных методов, применяемых при решении практических задач. Построены также методы коллокаций и механических квадратур, обоснование которых проведено при достаточно жестких условиях. В предыдущей работе авторов построен и обоснован сплайн-коллокационный метод решения уравнения Амбарцумяна со сплайнами нулевого порядка. Точность этого метода равна O(N⁻¹) , где O(N) – число узлов коллокации. Представляет значительный интерес построение итерационного метода, адаптированного к гладкости коэффициентов и ядер уравнения. Рассеивание света в средах конечной оптической толщины описывается системами уравнений Амбарцумяна, для приближенного решения которых необходимо построение и обоснование эффективных численных методов. Построению таких методов посвящена данная статья. Материалы и методы. Построение и обоснование итерационных методов решения систем уравнений Амбарцумяна основано на обобщении непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Метод и его обобщение построены на основе Ляпуновской теории устойчивости и устойчивы к возмущению начальных условий, коэффициентов и ядер решаемых уравнений. Дополнительным достоинством непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений является то, что при его реализации не требуется обратимость производной Гато от нелинейного оператора. Результаты. Построены сплайн-коллокационные со сплайнами первого порядка методы решения уравнения и систем уравнений Амбарцумяна и даны их обоснования. Решены модельные примеры, иллюстрирующие эффективность методов. Выводы. Рассмотрены уравнения, обобщающие классические уравнения Амбарцумяна. Для их решения построены и обоснованы вычислительные схемы сплайн-коллокационных методов. Полученные результаты могут быть использованы при решении ряда задач астрофизики. 

Ключевые слова

непрерывный операторный метод, уравнение Амбарцумяна, сингулярное интегральное уравнение, сплайн-коллокационный метод 

 Скачать статью в формате PDF

1. Бойков И. В., Шалдаева А. А. Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 1 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2. С. 14–34. doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2
2. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // Доклады Академии наук СССР. 1943. Т. 38, № 8. С. 257–279.
3. Амбарцумян В. А. О рассеянии света атмосферами планет // Астрономический журнал. 1942. Т. 19, № 50. С. 30–47.
4. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М. : Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.
5. Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 9, С. 1308–1314.
6. Енгибарян Б. Н. Об уравнении свертки с положительным ядром, представленным через знакопеременную меру // Математические заметки. 2007. Т. 81, № 5. С. 693–702. doi:https://doi.org/10.4213/mzm3712
7. Boykov I. V., Roudnev V. A., Boykova A. I., Baulina O. A. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations // Applied Numerical Mathematics. 2018. Vol. 127. P. 280–305.
8. Boykov I. V., Roudnev V. A., Boykova A. I. Methods for Solving Linear andNonlinear Hypersingular Integral Equations // Axioms. 2020. Vol. 9 (3). Р. 74. URL: https://doi.org/10.3390/axioms9030074
9. Boykov I. V. Approximate Methods for Solving Hypersingular integral Equations // Topics in Integral and Integro-Difference Equations. Theory fnd Applications / ed. Harenfra Singh, Hemen Dutta, Marcelo M. Cavalcanti. 2021. P. 63–102. doi:10.1007/978-3-030-65509-9_3